动圆圆心的轨迹是中学数学研究的一个重点，但动圆圆心的几何构造在实际教学中却较难实现，影响着学习者的习得。
    加涅的教育心理学理论认为，要导致有效的学习，必须注意学习者外部的刺激情境，外部事件能以各种形式影响学习者的内部过程，有些外部事件对学习起支持作用。因此，我们应充分考虑何种事件能提供这种支持，会导致迅速和无障碍学习的种种内部过程。
    利用几何画板这一工具，可以改进数学教学内容的呈现方式，优化学习者外部的刺激情境，有利于导致学习者有效学习。本文谈谈利用几何画板构造动圆圆心轨迹的三个实例。在课堂教学中采用这一方法，可以加深学生对此类轨迹的几何意义和与之相关的参数的认识，引导学习者进行有效学习。
     一、与两外离定圆外切的动圆圆心的轨迹
    ■构造思路
    设O1、O2分别为两定圆的圆心，G、E分别为动圆与两定圆的切点，则射线O1G、O2E的交点便是动圆的圆心（参见图1）。因此，问题归结为确定切点G、E。我们可以先在⊙O2上适当位置任取一点E为动圆与⊙O2外切的切点，画O1F//O2E，交⊙O1于点F，直线EF交⊙O1于点G′，射线O1G′、O2E交于点O。由于O1F=O1G′，根据平行线的性质，必有OE=OG′，因而点G′也在以O为圆心，以OE为半径的圆上，所以G′就是我们所需要的另一个切点G。
    ■构造步骤
    第一步，构造线段AB、CD（AB>CD）及两定点O1、O2（O1O2>AB+CD）。
    第二步，分别选中点O1和线段AB、点O2和线段CD，构造两个外离的圆。
    第三步，在⊙O2上适当位置取点E，画射线O2E；依次选中点O2E，单击“变换→标记向量”；选中点O1，单击“变换→平移”，得点E′，构造射线O1E′，与⊙O1的交点为F。
    第四步，画直线EF交⊙O1于点G，画射线O1G交射线O2E于点O。
    第五步，依次选中点E、O，单击“构造→轨迹”，即得与两定圆⊙O1、⊙O2外切的动圆圆心轨迹c，如图1。

    说明：第三步中通过“标记向量”的方法构造射线O1E′的目的，是为了保证射线O1E′与射线O2E同向，若射线O1E′与射线O2E反向，则射线O1G将与射线O2E的反向延长线交于点O，⊙O与⊙O2内切于点E。因此，要顺利构造与两定圆外切的动圆圆心的轨迹，还得根据所给的条件，恰当地选择射线O1E′与射线O2E的关系（同向或反向）。
    ■构造应用
    求与已知两相离定圆外切的动圆圆心轨迹的方程时，借助上述构造过程，问题变得直观、形象，学生直观地感知所得到的轨迹是双曲线（或一部份），迅速形成解决问题的思维过程，顺利地求出这条双曲线的焦距和实轴长。
    二、与一定直线相切、与一定圆外切的动圆圆心的轨迹
    ■构造思路
   设直线j与⊙O1分别为定直线和定圆，动圆与直线j切于点A，与⊙O1切于点C，过点A画直线j的垂线k，则动圆的圆心必是直线k与射线O1C的交点（参见图2）。因此，问题归结为确定切点A、C。那么，当点A选定后如何确定点C的位置呢？我们可过点O1作直线j的垂线l，交⊙O1于点B（点B在直线j与点O1的同侧），线段AB交⊙O1于点C′，射线O1C′与直线k交于点O。这样，由k∥l和O1B=O1C′便得到OA=OC′，点C′在以点O为圆心，OA为半径的圆上，C′就是我们所需要的切点C。
    ■构造步骤
    第一步，构造直线j及定圆⊙O1。
    第二步，在直线j上画点A，选中直线j、O1、A，单击“构造→垂线”，得直线k、l。
    第三步，画直线l与⊙O1的交点B（位于直线j和圆心O1同侧），画直线AB交⊙O1于点C，画射线O1C交直线k于点O。
    第四步，依次选中点A、O，单击“构造→轨迹”，即得与定直线j相切、与定圆⊙O1外切的动圆圆心的轨迹c，如图2。

    说明：第三步中若直线l与⊙O1的交点B位于直线j和圆心O1之间，则⊙O与⊙O1内切于点C。
    三、过定点且与一定直线相切的动圆圆心的轨迹
    ■构造思路
    设A为定点，直线j为定直线，又设动圆与直线j相切于点B，过点B作直线j的垂线k，则动圆的圆心在直线k上（参见图3）。为了使动圆经过点B，我们过点A作直线j的垂线l，并画直线l关于直线AB的对称直线l′，交直线k于点O。由k//l、AB平分直线l和l′的夹角，容易证明OA=OB，点O便是动圆的圆心。
    ■构造步骤
    第一步，构造直线j及定点A。
    第二步，在直线j上任取点B，选中直线j及点A、B，单击“构造→垂线”，得直线k、l。
    第三步，画线段AB，双击线段AB，选中直线l，单击“变换→反射”，得直线l′/，画直线l′/与k的交点O。
    第四步，依次选中点B、O，单击“构造→轨迹”，即得过定点A且与定直线j相切的动圆圆心的轨迹c，如图3。

    ■构造应用
    借助上述的构造，我们可以创设抛物线概念的实验情境。在这样的情境中，不但使学生能迅速地认识到抛物线是平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹，而且让学生体会了参数与定点到定直线距离的关系，点A到直线l的垂线段决定了抛物线的开口方向，并为通径的定义提供了实践依据。

参考文献：
R·M·加涅等.教学设计原理［M］.上海:华东师范大学出版社,1999.