　　“质点运动”、“折纸问题”是出现在近几年各地中考试卷中的新颖试题。为了帮助同学们探究这类问题的解题策略，我用几何画板把2003年舟山的中考压轴题设计成实验题，利用我校多媒体网络教室，让学生通过观察，探究特定数量关系的规律。学生在这次实验中不仅达到了预定的学习目标，还发现了该中考题的一个漏洞。对此，我感触颇深。
　　试题　如图，⊙Ａ的半径为２，⊙Ｂ的半径为１，ＡＢ＝４，Ｐ为连接两圆圆心的线段ＡＢ上一点，ＰＣ切⊙Ａ于点Ｃ，ＰＤ切⊙Ｂ于点Ｄ。

    （１）若ＰＣ＝ＰＤ，求ＰＢ的长。
    （２）试问：线段ＡＢ上是否存在一点Ｐ，使ＰＣ２＋ＰＤ２＝４？如果存在，这样的点Ｐ有几个？并求出ＰＢ的值；如果不存在，说明理由。
    （３）当点Ｐ在线段ＡＢ上运动到某处，使ＰＣ⊥ＰＤ时，就有△ＡＰＣ∽△ＰＢＤ。请问：除上述情况外，当点Ｐ在线段ＡＢ上运动到何处（说明ＰＢ的长为多少，或ＰＣ，ＰＤ具有何种关系）时，这两个三角形仍相似？并判断此时直线ＣＰ与⊙Ｂ的位置关系，证明你的结论。
    教学过程简述
    我让学生在几何画板中自由拖动点Ｐ，观察某些角和线段长度的变化，找出本质特征，解答问题。测量的线段为ＰＣ，ＰＤ，ＰＢ，测量的角为∠ＣＰＡ，∠ＤＰＢ。
    学生在操作中发现，当点Ｐ在ＦＨ上移动时，存在⊙Ａ，⊙Ｂ的切线ＰＣ，ＰＤ，并很快有学生得出了问题（１）的解法：用切割线定理得到方程（ｘ－１）（ｘ＋１）＝（２－ｘ）（６－ｘ）（推理过程略），其中ｘ为线段ＰＢ的长（下同），解得ｘ＝13/8。该值与实际度量得到的ＰＢ长吻合。
    问题（１）的解答对其他同学产生了启发，马上有很多同学写出了问题（２）的解答过程：由
（２－ｘ）（６－ｘ）＋（ｘ－１）（ｘ＋１）＝４得ｘ＝２±    。但１＜ＰＢ＜２，所以符合要求的点Ｐ存在，ＰＢ＝２－    。
    接下来进行问题（３）的实验。
    师：要求△ＡＰＣ与△ＰＢＤ相似，除题目列举的条件外，还有哪种可能的条件？请同学们拖动点Ｐ，找一找。
    生：根据切线的性质，无论点Ｐ在什么位置，∠ＡＣＰ与∠ＰＤＢ始终是直角，且一定是对应角，因此只有当∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ时，才可能使△ＡＰＣ与△ＰＢＤ相似。拖动点Ｐ，发现确实可使∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ。
    生：我也同意，当∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ时，   ＝　＝   ＝２，可以求出ＰＢ＝3/4和ＰＣ＝２ＰＤ。
    把求出的结果当作条件，根据直角三角形相似的判定定理，可以证明△ＡＰＣ∽△ＢＰＤ。
    生：这时，设ＰＴ是ＣＰ的延长线，有∠ＢＰＴ＝∠ＢＰＤ，ＰＢ是∠ＤＰＴ的角平分线，可以证明直线ＣＰ是⊙Ｂ的切线。
    题目至此似乎解答完毕，一切与操作结果相符。突然一个同学站起来说：我发现题目有错。当点Ｐ在ＦＨ上运动时，不可能使ＰＣ⊥ＰＤ，因此在这种条件下△ＡＰＣ∽△ＰＢＤ不能成立！
    师：请具体说说你的发现过程。
    生：我让点Ｐ在ＡＢ上移动，如果ＰＣ⊥ＰＤ，应该有∠ＡＰＣ与∠ＢＰＤ互余。但我让点Ｐ慢慢移动，并不断计算∠ＡＰＣ＋∠ＢＰＤ，发现结果总是小于９０°。
    师：这位同学的发现很有意义，请其他同学也在计算机上实验一下。为了方便大家计算∠ＡＰＣ＋∠ＢＰＤ的值，老师马上为你们在计算机上做一个计算按钮。请大家观察这两个角的度数的和最大为多少。
    生：８４．５°。
    师：如果你是出卷的老师，应如何修正这个题目？
    生：将ＡＢ的长度改得长一些。
    生：改变该题的提问方式：只问当点Ｐ移动到何处时，△ＡＰＣ与△ＰＢＤ相似，这样的点Ｐ有几个？
    师：（小结）这是同学们在实验中的发现，究竟我们的发现是否正确，还得通过计算或证明，请大家在课后讨论研究。如果我们的发现正确，那么说明２００３年舟山的中考试题存在一个漏洞。这节课还让我们看到，实验是数学发现的重要方法。
反思
    教师是创新课堂的建设者，课堂是师生合作探究的“实验室”，学习过程是师生互动，共同发展，富于创造性的活动。仅仅依靠黑板、粉笔进行运算和推理，本课这样的发现几乎是不可能的。计算机网络、投影、课件、数学实验室将成为发现数学的重要媒体。这样一来，教学势必增加了不可预知性，对教师的教学水平提出了更高的要求。我们要有这样的心理准备，像学生那样，在实践中锻炼自己。